Question

【題目】已知函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點， ，且.

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）證明： .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點等價于；方程有兩個不同的根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象可得出實數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)（1）可知，

設(shè)利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，當(dāng)時， ，即，所以，從而可得結(jié)論.

試題解析：（1）根據(jù)題意，方程有兩個不同的根，

設(shè)，則，

根據(jù)，所以在上單調(diào)遞增；

，所以在上單調(diào)遞減.

所以時， 取得極小值.

又因為時， ， ，作出的大致圖像如圖所示，

所以.

（2）根據(jù)（1）可知，

設(shè) ，

則.

設(shè)，則，

根據(jù)，則在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時， ，

所以，所以在上單調(diào)遞增，

則當(dāng)時， ，即，所以，

又因為在上單調(diào)遞增，所以，即.