Question

5．點(diǎn)B，F(xiàn)分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)與左焦點(diǎn)，過F作x軸的垂線與橢圓交于第二象限的一點(diǎn)P，H（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0）（c為半焦距），若OP∥BH（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{{\;}^{3}\sqrt{4}}{2}$

Answer 1

分析 依題意，可求得P（-c，$\frac{^{2}}{a}$），利用HB∥OP求得c²=ab，再利用橢圓的性質(zhì)即可求得答案．

解答 解：依題意，作圖如下：
∵F（-c，0）是橢圓的左焦點(diǎn)，PF⊥OF，
∴P（-c，$\frac{^{2}}{a}$），
∴直線OP的斜率k=$\frac{\frac{^{2}}{a}-0}{-c-0}=-\frac{^{2}}{ac}$；
又H（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），B（0，b），
∴直線HB的斜率k′=$\frac{b-0}{0-\frac{{a}^{2}}{c}}=-\frac{bc}{{a}^{2}}$．
∵HB∥OP，
∴$-\frac{^{2}}{ac}=-\frac{bc}{{a}^{2}}$，
∴c²=ab，又b²=a²-c²，
∴c⁴=a²b²=a²（a²-c²），
∴e⁴+e²-1=0，
∴e²=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
則e=$\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的性質(zhì)，利用HB∥OP求得c²=ab是關(guān)鍵，考查分析與計(jì)算能力，屬于中檔題．