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【題目】已知拋物線：過點(diǎn)，為其焦點(diǎn)，過且不垂直于軸的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足的垂心為原點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）求證：動(dòng)點(diǎn)在定直線上，并求的最小值.

【答案】（1）（2）證明見解析,的最小值為

【解析】

（1）直接將代入拋物線方程即可得到答案；

（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，表示出，運(yùn)用基本不等式即可得到結(jié)論.

（1）由題意，將點(diǎn)代入，

即，解得，

所以，拋物線的方程為.

（2）解析1：（巧設(shè)直線）

證明：設(shè)：，，，聯(lián)立，可得，則有，可設(shè)：，即，同理：，解得，即動(dòng)點(diǎn)在定直線：上.

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.其中，分別為點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離.

（2）解析2：（利用向量以及同構(gòu)式）

證明：設(shè)：，，，聯(lián)立，可得，則有.，，又為的垂心，從而，代入化簡得：，同理：，從而可知，，是方程的兩根，所以，所以動(dòng)點(diǎn)在定直線：上.

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.其中，分別為點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為,離心率為.

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)為外一點(diǎn),且到的兩條切線相互垂直,求的軌跡的方程；

（3）設(shè)的另一個(gè)焦點(diǎn)為,過上一點(diǎn)的切線與（2）所求軌跡交于點(diǎn),,求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，是一個(gè)三棱錐，是圓的直徑，是圓上的點(diǎn)，垂直圓所在的平面，，分別是棱，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若二面角是，，求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于函數(shù)，若存在正常數(shù)，使得對任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“同比不減函數(shù)”．

（1）求證：對任意正常數(shù)，都不是“同比不減函數(shù)”；

（2）若函數(shù)是“同比不減函數(shù)”，求的取值范圍；

（3）是否存在正常數(shù)，使得函數(shù)為“同比不減函數(shù)”，若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于定義域?yàn)?/span>R的函數(shù)，若函數(shù)是奇函數(shù)，則稱為正弦奇函數(shù).已知 是單調(diào)遞增的正弦奇函數(shù)，其值域?yàn)?/span>R，.

（1）已知是正弦奇函數(shù)，證明：“為方程的解”的充要條件是“為方程的解”；

（2）若，求的值；

（3）證明：是奇函數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2acosB＝2c﹣b．

（1）求∠A的大小；

（2）若△ABC的外接圓的半徑為，面積為，求△ABC的周長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了鼓勵(lì)職員工作熱情，某公司對每位職員一年來的工作業(yè)績按月進(jìn)行考評打分；年終按照職員的月平均值評選公司最佳職員并給予相應(yīng)獎(jiǎng)勵(lì).已知職員一年來的工作業(yè)績分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示：

（1）根據(jù)職員的業(yè)績莖葉圖求出他這一年的工作業(yè)績的中位數(shù)和平均數(shù)；

（2）由于職員的業(yè)績高，被公司評為年度最佳職員，在公司年會(huì)上通過抽獎(jiǎng)形式領(lǐng)取獎(jiǎng)金.公司準(zhǔn)備了六張卡片，其中一張卡片上標(biāo)注獎(jiǎng)金為6千元，兩張卡片的獎(jiǎng)金為4千元，另外三張的獎(jiǎng)金為2千元.規(guī)則是：獲獎(jiǎng)職員需要從六張卡片中隨機(jī)抽出兩張，這兩張卡片上的金額數(shù)之和作為獎(jiǎng)金數(shù).求職員獲得獎(jiǎng)金6千元的概率；并說明獲得獎(jiǎng)金6千元和8千元哪個(gè)可能性較大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且T4=4，b5=6.

（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）若正整數(shù)n1，n2，…，nt，…滿足5＜n1＜n2＜…＜nt，…且b3，b5，，，…，，…成等比數(shù)列，求數(shù)列{nt}的通項(xiàng)公式（t是正整數(shù)）；

（3）給出命題：在公比不等于1的等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，若am，am+2，am+1成等差數(shù)列，則Sm，Sm+2，Sm+1也成等差數(shù)列.試判斷此命題的真假，并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）將曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的倍（橫坐標(biāo)不變）得到曲線，求的參數(shù)方程；

（2）若，分別是直線與曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.

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同步練習(xí)冊答案