Question

17．已知復(fù)數(shù)z₁=i（1+i）²，
（1）求$\overline{{z}_{1}}$及|z₁|；
（2）當(dāng)復(fù)數(shù)z滿足|z+3-4i|=1，求|z-z₁|的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）化簡復(fù)數(shù)z₁，求出$\overline{{z}_{1}}$與|z₁|的值；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi，x、y∈R，求出點z的軌跡是單位圓，畫出圖形，結(jié)合圖形求出|z-z₁|的最值即可．

解答 解：∵復(fù)數(shù)z₁=i（1+i）²=i（1+2i-1）=2i²=-2，
（1）∴$\overline{{z}_{1}}$=-2，
|z₁|=2；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi，x、y∈R，
∵|z+3-4i|=1，
∴|（x+3）+（y-4）i|=1，
∴（x+3）²+（y-4）²=1，
它表示圓心為P（-3，4），半徑為1的圓；
畫出圖形，如圖所示；
則圓心P到復(fù)數(shù)z₁點A的距離為
|PA|=$\sqrt{{（-3+2）}^{2}{+4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
所以|z-z₁|的最大值為|PA|+r=$\sqrt{17}$+1，
最小值為|PA|-r=$\sqrt{17}$-1．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的概念與代數(shù)運算問題，也考查了求軌跡方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．