Question

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),曲線x²+y²+2x-6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q,滿足關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱,又滿足·=0.

(1)求m的值;

(2)求直線PQ的方程.

Answer 1

解：(1)曲線方程為(x+1)²+(y-3)²=9表示圓心為(-1,3),半徑為3的圓.

    ∵點(diǎn)P、Q在圓上且關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱,∴圓心(-1,3)在直線上.代入得m=-1.

    (2)∵直線PQ與直線y=x+4垂直,

    ∴設(shè)P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂),PQ方程為y=-x+b.

    將直線y=-x+b代入圓方程,得2x²+2(4-b)x+b²-6b+1=0.

    Δ=4(4-b)²-4×2×(b²-6b+1)＞0,得2-3＜b＜2+3.

    由韋達(dá)定理得x₁+x₂=-(4-b),x₁·x₂=.

    y₁·y₂=b²-b(x₁+x₂)+x₁·x₂=+4b.

    ∵·=0,

    ∴x₁x₂+y₁y₂=0,

    即b²-6b+1+4b=0.

    解得b=1∈(2-3,2+3).

    ∴所求直線方程為y=-x+1.