Question

9．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₃=5，a₅+a₇=22，等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n和前n項(xiàng)和S_n
（Ⅱ）若b_n=2ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出；
（II）b_n=2ⁿa_n=（2n-1）•2ⁿ．利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃=5，a₅+a₇=22，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=5}\\{2{a}_{1}+10d=22}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
S_n=n+$\frac{（n-1）n}{2}×2$=n²．
（II）b_n=2ⁿa_n=（2n-1）•2ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=1×2+3×2²+5×2³…+（2n-1）•2ⁿ．
2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=$2×\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-4，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+4．

點(diǎn)評 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．