Question

設(shè){a_n}是等差數(shù)列,證明以b_n=(n∈N^*)為通項公式的數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列.

Answer 1

證法一:設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d(常數(shù)),

    ∴b_n-b_n-1=-

    =

    =

    =(a_n-a_n-1)

    =d(常數(shù)),其中n≥2.

    ∴{b_n}是等差數(shù)列.

證法二:等差數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=na₁+d,

    ∴b_n=［na₁+d］

    =a₁+=·n+(a₁-).

    ∴{b_n}是等差數(shù)列.

講評:判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有:

    (1)定義法:a_n+1-a_n=d(常數(shù))(n∈N^*){a_n}是等差數(shù)列;

    (2)中項公式法:2a_n+1=a_n+a_n+2(n∈N^*){a_n}是等差數(shù)列;

    (3)通項公式法:a_n=kn+b(k、b是常數(shù))(n∈N^*){a_n}是等差數(shù)列;

    (4)前n項和公式法:S_n=An²+Bn(A、B是常數(shù))(n∈N^*){a_n}是等差數(shù)列.