Question

13．已知函數(shù)f（x）和g（x）是兩個定義在區(qū)間M上的函數(shù)，若對任意的x∈M，存在常數(shù)x₀∈M，使的f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀），且f（x₀）=g（x₀），則稱f（x）與g（x）在區(qū)間M上是“相似函數(shù)”，若f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+b與g（x）=x+$\frac{4}{x}$在區(qū)間[1，3]上是“相似函數(shù)”，則a，b的值分別是（　　）

• A． a=-2，b=0
• B． a=-2，b=-2
• C． a=2，b=0
• D． a=2，b=-2

Answer 1

分析 由題意求出函數(shù)g（x）的最小值，然后對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，進(jìn)一步得到其在[1，3]上的最小值求解．

解答 解：∵當(dāng)x∈[1，3]時，g（x）=x+$\frac{4}{x}$≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號，
∴x₀=2，g（x₀）=4，
∵f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a），
①當(dāng)a≤1時，∵x∈[1，3]，∴f′（x）≥0，故f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，不合題意；
②當(dāng)a＞1時，由f′（x）＞0，得x＜1或x＞a，由f′（x）＜0，得1＜x＜a，
故f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
依題意可得：a=2．
∴f（x）=2x³-9x²+12x+b，則f（2）=4+b=4，解得：b=0．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)值的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．