Question

已知函數f（x）=e^-x（cosx+sinx），將滿足f'（x）=0的所有正數x從小到大排成數列{x_n}．
（Ⅰ）證明數列{f{x_n}}為等比數列；
（Ⅱ）記S_n是數列{x_nf{x_n}}的前n項和，求

lim

n→∞

S1+S2+…+Sn

n

．

Answer 1

（Ⅰ）證明：f'（x）=-e^-x（cosx+sinx）+e^-x（-sinx+cosx）=-2e^-xsinx．
由f'（x）=0，得-2e^-xsinx=0．
解出x=nπ，n為整數，從而x_n=nπ，n=1，2，3，f（x_n）=（-1）ⁿe^-nπ.

f(xn+1)

f(xn)

=-e-π．
所以數列{f{x_n}}是公比q=-e^-π的等比數列，且首項f（x₁）=q．
（Ⅱ）S_n=x₁f（x₁）+x₂f（x₂）++x_nf（x_n）=πq（1+2q++nq^n-1），
qS_n=πq（q+2q²++nqⁿ），
S_n-qS_n=πq（1+2q²++q^n-1-nqⁿ）
=πq(

1-qn

1-q

-nqn)，
從而

S1+S2++Sn

n

=

πq

(1-q)2

-

πq2

n(1-q)2

(1+q++qn-1)-

πq2

n(1-q)

(1+2q++nqn-1)
=

πq

(1-q)2

-

πq2

n(1-q)2

1-qn

1-q

-

πq2

n(1-q)2

(

1-qn

1-q

-nqn)
=

πq

(1-q)2

-

2πq2

n(1-q)3

(1-qn)+

πqn+2

(1-q)2

．
因為|q|=e-π＜1.

lim

n→∞

qn=0，
所以

lim

n→∞

S1+S2++Sn

n

=

πq

(1-q)2

=

-πeπ

(eπ+1)2

．