Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2cos²x+sin2x+a（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

6

]時，f（x）的最大值為2，求a的值，并求出y=f（x）（x∈R）的對稱軸方程．

Answer 1

（1）f（x）=1+cos2x+sin2x+a=

2

sin（2x+

π

4

）+1+a，
∵ω=2，∴T=π，
∴f（x）的最小正周期π；
當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）時f（x）單調(diào)遞增，
解得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
則x∈[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）為f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

6

]時，

π

4

≤2x+

π

4

≤

7π

12

，
當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時，sin（2x+

π

4

）=1，
則f（x）max=

2

+1+a=2，
解得：a=1-

2

，
令2x+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z），得到x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z）為f（x）的對稱軸．