Question

下列結(jié)論正確的有

④⑦

①y=x+

1

x

的最小值為2    ②當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，lgx+

1

lgx

≥2   ③y=

x2+3

x2+2

的最小值為2
④當(dāng)x＞0時(shí)，

x

+

1

x

≥2       ⑤y=sin2x+

1

sin2x

，x∈(0，

π

2

)的最小值為2
⑥當(dāng)x≥2時(shí)，x+

1

x

的最小值為2       ⑦y=x2+

1

x2

的最小值為2．

Answer 1

分析：利用均值定理求最值要注意滿足三個(gè)條件即一“正”；兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)；二“定”：和是定值或積是定值；三“等號(hào)”：即等號(hào)成立的條件要具備，分別用這三個(gè)條件檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可

解答：解：若x＜0則y=x+

1

x

＜0，故①錯(cuò)誤；若0＜x＜1，則lgx＜0，lgx+

1

lgx

＜ 0，故②錯(cuò)誤；y=

x2+3

x2+2

=

x2+2+1

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

，由于

x2+2

=

1

x2+2

無解，故其最小值不為2，故③錯(cuò)誤；當(dāng)x＞0時(shí)，

x

+

1

x

≥2

x • 1 x

=2，故④正確；y=sin2x+

1

sin2x

x∈(0，

π

2

)，由于sin²x=

1

sin2x

在x∈(0，

π

2

)上無解，故其最小值不為2，故⑤錯(cuò)誤；當(dāng)x≥2時(shí)，x=

1

x

無解，故其最小值不為2，故⑥錯(cuò)誤；y=x2+

1

x2

≥2

x2• 1 x2

=2，故⑦正確
故答案為④⑦

點(diǎn)評(píng)：本題考察了均值定理求最值的方法，解題時(shí)一定要牢記口訣一“正”二“定”三“等號(hào)”，并能熟練運(yùn)用這些條件判斷解題的正誤