Question

已知橢圓方程為，它的一個頂點為M（0，1），離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓交于A，B兩點，坐標(biāo)原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求橢圓的方程，它的一個頂點為M（0，1），離心率．建立方程求同a，b，即可得到橢圓的方程．
（2）由于已知坐標(biāo)原點O到直線l的距離為，故求△AOB面積的最大值的問題轉(zhuǎn)化為求線段AB的最大值的問題，由弦長公式將其表示出來，再判斷最值即可得到線段AB的最大值．
解答：解：（1）設(shè)，
依題意得（2分）解得．（3分）∴橢圓的方程為．．（4分）
（2）①當(dāng)AB．（5分）
②當(dāng)AB與x軸不垂直時，
設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知，得，．．（6分）
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴（7分）
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²===．
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時|AB|=2．（10分）
③當(dāng)（11分）
綜上所述：|AB|_max=2，
此時△AOB面積取最大值（12分）
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解答本題關(guān)鍵是對直線AB的位置關(guān)系進行討論，可能的最值來，本題由于要聯(lián)立方程求弦長，故運算量比較大，又都是符號運算，極易出錯，做題時要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真．利用弦長公式求弦長，規(guī)律固定，因此此類題難度降低不少，因為有此固定規(guī)律，方法易找，只是運算量較大．