Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=a_n+3，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2S_n=1-b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=a_n+3，即a_n+1-a_n=3，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2S_n=1-b_n．n≥2時(shí)，2b_n=2（S_n-S_n-1），化為：b_n=$\frac{1}{3}$b_n-1．n=1時(shí)，2b₁=1-b₁，解得b₁．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得b_n．
（2）c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=n•3ⁿ⁺¹，利用錯(cuò)位相減法與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=a_n+3，即a_n+1-a_n=3，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)與公差都為3．
∴a_n=3+3（n-1）=3n．
∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2S_n=1-b_n．
∴n≥2時(shí)，2b_n=2（S_n-S_n-1）=1-b_n-（1-b_n-1），
化為：b_n=$\frac{1}{3}$b_n-1．
n=1時(shí)，2b₁=1-b₁，解得b₁=$\frac{1}{3}$．
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為$\frac{1}{3}$．
∴b_n=$（\frac{1}{3}）^{n}$．
（2）c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=n•3ⁿ⁺¹，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=3²+2×3³+3×3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹，
∴3T_n=3³+2×3⁴+…+（n-1）•3ⁿ⁺¹+n•3ⁿ⁺²，
∴-2T_n=3²+3³+…+3ⁿ⁺¹-n•3ⁿ⁺²=$\frac{9（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺²，
∴T_n=$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺²+$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了錯(cuò)位相減法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．