Question

如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長(zhǎng)為3的正方體，點(diǎn)E在AA₁上，點(diǎn)F在CC₁上，且AE=FC₁=1。

（1）求證：E，B，F(xiàn)，D₁四點(diǎn)共面；
（2）若點(diǎn)G在BC上，BG=，點(diǎn)M在BB₁上，GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥面BCC₁B₁；
（3）用θ表示截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成銳二面角大小，求tanθ。

Answer 1

解：（1）證明：在DD₁上取一點(diǎn)N使得DN=1，連接CN，EN，顯然四邊形CFD₁N是平行四邊形，
所以D₁F//CN，
同理四邊形DNEA是平行四邊形，
所以EN//AD，且EN=AD，
又BC//AD，且AD=BC，
所以EN//BC，EN=BC，
所以四邊形CNEB是平行四邊形，
所以CN//BE，
所以D₁F//BE，
所以四點(diǎn)共面。
（2）因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111114/20111114145647218969.gif">
所以∽△MBG，
所以，即，
所以MB=1，
因?yàn)锳E=1，
所以四邊形ABME是矩形，
所以EM⊥BB₁
又平面ABB₁A₁⊥平面BCC₁B₁，
且EM在平面ABB₁A₁內(nèi)，
所以面。
（3）面，
所以BF，MH，，
所以∠MHE就是截面和面所成銳二面角的平面角，∠EMH=，
所以，
∵M(jìn)E=AB=3，∽△MHB，
所以3：MH=BF：1，BF=，
所以MH=，
所以。