Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-si{n}^{2}（\frac{π}{3}-2x）}{cos（2x-\frac{π}{3}）}$•$\frac{3}{tan（2x+\frac{7π}{6}）}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及值域；
（2）求當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）．由周期公式可得函數(shù)f（x）的最小正周期，由余弦函數(shù)的有界性可得值域．
（2）由x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，可求2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1-si{n}^{2}（\frac{π}{3}-2x）}{cos（2x-\frac{π}{3}）}$•$\frac{3}{tan（2x+\frac{7π}{6}）}$=$\frac{co{s}^{2}（2x-\frac{π}{3}）}{cos（2x-\frac{π}{3}）}•\frac{2}{tan（2x+\frac{π}{6}）}$=cos（2x-$\frac{π}{3}$）•$\frac{2cos（2x+\frac{π}{6}）}{sin（2x+\frac{π}{6}）}$=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．值域?yàn)椋篬-2，2]．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴由余弦函數(shù)的圖象可知：函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[-$\frac{5π}{6}$，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，周期公式，余弦函數(shù)的有界性、單調(diào)性等知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．