Question

17．已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0時，都有（f（a）+f（b））（a+b）＞0成立，且f（1）=3．
（1）判斷f（x）在區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)性，并給出證明；
（2）解不等式：f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（$\frac{1}{x-1}$）；
（3）若f（x）+3≥-m²-2tm對所有的x∈[-1，1]，t∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（3）根據(jù)不等式恒成立，利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．

解答 解：（1）∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴（f（a）+f（b））（a+b）＞0等價為[f（a）-f（-b）][a-（-b）]＞0，
令x₁=a，x₂=-b，
則不等式等價為[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)遞增．
（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)遞增，
∴不等式f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（$\frac{1}{x-1}$）等價為$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤\frac{1}{x-1}≤1}\\{x+\frac{1}{2}≤\frac{1}{x-1}}\end{array}\right.$；即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{x≥2或x≤0}\\{\frac{（x+1）（2x-3）}{2（x-1）}≤0}\end{array}\right.$得$-\frac{3}{2}$≤x≤-1，
即不等式的解集為[$-\frac{3}{2}$，-1]．
（3）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)遞增．
∴函數(shù)的最小值為f（-1）=-f（1）=-3，
若f（x）+3≥-m²-2tm對所有的x∈[-1，1]，t∈[-1，1]恒成立，
則-3+3≥-m²-2tm對t∈[-1，1]恒成立，
即2mt+m²≥0，
設(shè)g（t）=2mt+m²，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{g（1）={m}^{2}+2m≥0}\\{g（-1）={m}^{2}-2m≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m≥0或m≤-2}\\{m≥2或m≤0}\end{array}\right.$
即m=0或m≥2或m≤-2，
則求實數(shù)m的取值范圍m=0或m≥2或m≤-2．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．