Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）當m＞0時，求函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當m≥1時，曲線C：y=f（x）在點P（0，1）處的切線l與C有且只有一個公共點，求m的取值的集合M．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f（x）的導函數(shù)，
（Ⅰ）把求出的導函數(shù)通分并分解因式后，由導函數(shù)的正負即可得到函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）由題意可知點P在曲線C上，把點P的橫坐標代入導函數(shù)中求出的函數(shù)值即為切線方程的斜率，根據(jù)切點坐標和求出的斜率寫出切線的方程，與曲線C的方程聯(lián)立，消去y后得到關于x的一元二次方程只有一個解，設方程左邊的式子等于g（x），且得到g（0）=0，求出g（x）的導函數(shù)，分m=1和m大于1兩種情況考慮：當m=1時，代入得到g（x）的導函數(shù)大于等于0，即g（x）為增函數(shù)，符合題意；當m大于1時，根據(jù)導函數(shù)的正負討論函數(shù)的單調性，進而得到函數(shù)在m大于1時有零點，不合題意，綜上，得到滿足題意m的取值范圍．
解答：解：由題設知：
（Ⅰ）當m＞0時，，
而
∴函數(shù)f（x）單調遞增區(qū)間為∪；
單調遞減區(qū)間為．
（Ⅱ）由題設知：P∈C，f'（0）=-1，切線l的方程為y=-x+1，
于是方程：，即有且只有一個實數(shù)根；
設，得g（0）=0；
，
當m=1時，，g（x）為增函數(shù)，符合題設；
當m＞1時，有，得x∈（0，+∞），
g'（x）＞0，g（x）在此區(qū)間單調遞增，g（x）＞0；
在此區(qū)間單調遞減，g（x）＞0；
在此區(qū)間單調遞增，；
此區(qū)間存在零點，即得m＞1不符合題設；
∴由上述知：M={1}．
點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調性，是一道中檔題．