Question

【題目】已知離心率為 的橢圓(a>b>0)過(guò)點(diǎn)M(,1).

(1)求橢圓的方程.

(2)已知與圓x2+y2=相切的直線(xiàn)l與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)A,B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓離心率、點(diǎn)的坐標(biāo)以及列方程組，解方程求得，由此求得橢圓方程.

（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，結(jié)合直線(xiàn)與圓相切，計(jì)算出的值.

（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為，所以煤核兒的，所以橢圓方程為.

（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，由直線(xiàn)與圓相切得，即，所以①.聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓方程得，消去并化簡(jiǎn)得，則，即.由根與系數(shù)關(guān)系得.從而.所以，將①代入上式得.

當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，由于直線(xiàn)與圓相切，所以直線(xiàn)的方程為，此時(shí)直線(xiàn)與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，或，滿(mǎn)足.

綜上所述，.