Question

1．已知關(guān)于x的不等式x²-ax+b＞0（a，b∈R）的解集為{x|x＞2或x＜1}．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=a$\sqrt{x-1}$+b$\sqrt{2-x}$的最大值，以及取得最大值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)不等式的解集可知方程x²-ax+b=0的兩個(gè)根為1和2，計(jì)算即可；
（Ⅱ）通過(guò)（Ⅰ），利用柯西不等式即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）依題意，方程x²-ax+b=0的兩個(gè)根為1和2，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{1+2=a}\\{1×2=b}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=2}\end{array}}\right.$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$f（x）=3\sqrt{x-1}+2\sqrt{2-x}$（1≤x≤2），
由柯西不等式得，${f^2}（x）={（{3\sqrt{x-1}+2\sqrt{2-x}}）^2}$≤（3²+2²）（x-1+2-x）=13，
∴$f（x）≤\sqrt{13}$（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3}{2}=\frac{{\sqrt{x-1}}}{{\sqrt{2-x}}}$，即$x=\frac{22}{13}$時(shí)，取得等號(hào)），
∴當(dāng)$x=\frac{22}{13}$時(shí)，f（x）取得最大值$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于不等式方程、函數(shù)最值、柯西不等式的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．