Question

4．定義向量$\overrightarrow{OM}=（{a，b}）$的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx；函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為$\overrightarrow{OM}=（{a，b}）$（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）若$g（x）=3sin（{x+\frac{3π}{2}}）+4sinx$，求g（x）的“相伴向量”；
（2）已知M（a，b）（b≠0）為圓C：（x-2）²+y²=1上一點(diǎn)，向量$\overrightarrow{OM}$的“相伴函數(shù)”f（x）在x=x₀處取得最大值，當(dāng)點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求tan2x₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用誘導(dǎo)公式和“相伴向量”的定義，即可得到；
（2）求得向量$\overrightarrow{OM}$的“相伴函數(shù)”f（x），求得最大值，及x₀，運(yùn)用正切的二倍角公式，以及函數(shù)y=x-$\frac{1}{x}$的單調(diào)性，和m=$\frac{a}$的幾何意義，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）$g（x）=3sin（{x+\frac{3π}{2}}）+4sinx$=4sinx-3cosx，
其相伴向量為$\overrightarrow{OM}=（{4，-3}）$；
（2）$\overrightarrow{OM}$的相伴函數(shù)為$f（x）=asinx+bcosx=\sqrt{{a^2}+{b^2}}sin（{x+φ}）$，
其中$cosφ=\frac{a}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$，$sinφ=\frac{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$，
當(dāng)$x+φ=2kπ+\frac{π}{2}（{k∈Z}）$時(shí)，f（x）取到最大值，
故${x_0}=2kπ+\frac{π}{2}-φ$，$tan{x_0}=tan（{2kπ+\frac{π}{2}-φ}）=\frac{1}{tanφ}=\frac{a}$，
$tan2{x_0}=\frac{{2×\frac{a}}}{{1-{{（{\frac{a}}）}^2}}}=\frac{2}{{\frac{a}-\frac{a}}}$，$m=\frac{a}$為直線OM的斜率，
由幾何意義知$m∈[{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0}）∪（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$，
當(dāng)$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤m＜0$時(shí)，$tan2{x_0}=\frac{2}{{m-\frac{1}{m}}}$單調(diào)遞減，所以$0＜tan2{x_0}≤\sqrt{3}$；
當(dāng)$0＜m≤\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時(shí)，$tan2{x_0}=\frac{2}{{m-\frac{1}{m}}}$單調(diào)遞減，所以$-\sqrt{3}≤tan2{x_0}＜0$，
所以$tan2{x_0}∈[{-\sqrt{3}，0}）∪（{0，\sqrt{3}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，主要考查正弦函數(shù)的值域和直線的斜率及函數(shù)y=x-$\frac{1}{x}$的單調(diào)性，屬于中檔題．