Question

已知函數，．
（Ⅰ）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調函數，求m的取值范圍；
（Ⅱ）設，若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）y=f（x）-g（x）=mx--2lnx，y′=，
由于y=f（x）-g（x）在其定義域內為單調函數，則mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）上恒成立，
即m或者m在[1，+∞）上恒成立，
而0＜≤1，故m≥1或者m≤0，
綜上，m的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（Ⅱ）構造函數F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F（x）=mx--2lnx-，
①當m≤0時，由x∈[1，e]得，mx-≤0，-2lnx-＜0，
所以在[1，e]上不存在一個x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）；
②當m＞0時，F′（x）=m+-+=，
因為x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx²+m＞0，所以F′（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，故F（x）在x∈[1，e]上單調遞增，
F（x）_max=me--4，只要me--4＞0，解得m＞，
故m的取值范圍是（，+∞）．
分析：（Ⅰ）y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調函數，即y′≥0或y′≤0在[1，+∞）上恒成立，從而轉化為函數最值處理；
（Ⅱ）構造函數F（x）=f（x）-g（x）-h（x），則在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，等價于x∈[1，e]時，F（x）_max＞0，進而轉化為求函數最大值問題．
點評：本題考查應用導數研究函數的單調性、最值問題，考查學生分析問題解決問題的能力．