Question

在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，AM⊥BC于M，點(diǎn)N是△ABC內(nèi)部或邊上一點(diǎn)，則

AM

•

AN

的最大值為（　　）

• A、9
• B、16
• C、25
• D、

  144

  25

Answer 1

分析：由題意，以AB，AC為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，由AM⊥BC于M可得|

AM

|=

12

5

，

A M

•

BC

=0，聯(lián)立可得M的坐標(biāo)，由點(diǎn)N（x，y）是△ABC內(nèi)部或邊上一點(diǎn)可得

0≤x≤3 0≤y≤4 4x+3y-12≤0

AM

•

AN

=

48x+36y

25

，
從而轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)在平面區(qū)域（△ABC）內(nèi)最大值問題．

解答：解：由AB=3，AC=4，BC=5可知△ABC為直角三角形，AB⊥AC以A為原點(diǎn)，以AB，AC為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，
則A（0，0），B（3，0），C（0，4），設(shè)M（a，b） （a，b＞0）   N（x，y）
則由點(diǎn)N是△ABC內(nèi)部或邊上一點(diǎn)可得，

0≤x≤3 0≤y≤4 4x+3y-12≤0

    
則

BC

 = (-3，4)， 

AM

=(a，b)，|

AM

|=

12

5

由AM⊥BC于M可知

AM

•

BC

=0，|

AM

|=

12

5

可得
    b=

36

25

，a =

48

25

令Z=

AM

•

AN

=

48x+36y

25

，從而轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，求目標(biāo)函數(shù)Z在平面區(qū)域△ABC內(nèi)的最大值
利用線性規(guī)劃知識可得當(dāng)過邊界BC時將取得最大值，此時Z=

144

25

故選 D

點(diǎn)評：此題是一道綜合性較好的試題，以向量的相關(guān)知識（向量的垂直、向量的模的坐標(biāo)表示）為載體，把向量的數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的問題，突破難點(diǎn)的關(guān)鍵要看到兩點(diǎn)①點(diǎn)N是△ABC內(nèi)部或邊上一點(diǎn)?

0≤x≤3 0≤y≤4 4x+3y-12≤0

②

AM

•

AN

=

48x+36y

25

．