Question

7．設命題p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a≠0，命題q：實數(shù)x滿足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$．
（1）若a=1，且p且q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=1，p且q為真時，則p，q同時為真，建立條件即可求實數(shù)x的取值范圍；
（2）利用p是q的必要不充分條件，建立條件關系即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=1時，由x²-4x+3＜0得1＜x＜3，即p：1＜x＜3，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜3}\\{x＞2或x＜-4}\end{array}\right.$，得2＜x＜3
q：2＜x＜3，
∵p且q為真，
∴p，q同時為真，即x滿足$\left\{\begin{array}{l}{2＜x＜3}\\{1＜x＜3}\end{array}\right.$，
即2＜x＜3．
由$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{x＞2或x＜-4}\end{array}\right.$，得x＜-4
q：x＜-4，
∵p且q為真，
∴p，q同時為真，即x滿足$\left\{\begin{array}{l}{x＜-4}\\{1＜x＜3}\end{array}\right.$，
即2＜x＜3．
（2）∵p是q的必要不充分條件，
∴q是p的充分不必要條件，
由p知，即A={x|a＜x＜3a，a＞0}，
由q知，B={x|2＜x＜3}
∴B?A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a≥3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a≤2}\end{array}\right.$，
1≤a≤2
即實數(shù)a的取值范圍是[1，2]．

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的應用，利用復合命題之間的關系是解決本題的關鍵．