Question

3．函數(shù)f（x）=x²|x-a|，x∈[0，2]
（1）當a=1時求函數(shù)的最大值；
（2）求函數(shù)的最小值g（a）的表達式．

Answer 1

分析 （1）求得a=1時，f（x）的分段函數(shù)式，對0≤x＜1時，1≤x≤2時，求得導數(shù)和單調區(qū)間，可得最大值，即可得到所求函數(shù)的最大值；
（2）對a討論，當a≤0，當a＞0，求得單調性，可得最小值，結合不等式的性質，可得g（a）．

解答 解：（1）當a=1時，函數(shù)f（x）=x²|x-1|，x∈[0，2]，
=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}（x-1），1≤x≤2}\\{{x}^{2}（1-x），0≤x＜1}\end{array}\right.$，
當0≤x＜1時，f（x）=x²（1-x）的導數(shù)為f′（x）=2x-3x²=x（2-3x），
可得f（x）在（0，$\frac{2}{3}$）遞增，在（$\frac{2}{3}$，1）遞減，
即有f（x）在x=$\frac{2}{3}$處取得最大值$\frac{4}{27}$；
當1≤x≤2時，f（x）=x²（x-1）的導數(shù)為f′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
可得f（x）在（1，2）遞增，即有f（x）在x=2處取得最大值4；
綜上可得，f（x）在[0，2]處的最大值為f（2）=4；
（2）函數(shù)f（x）=x²|x-a|，x∈[0，2]
當a≤0時，f（x）=x²（x-a）的導數(shù)為f′（x）=3x²-2ax≥0在[0，2]恒成立，
即有f（x）在[0，2]遞增，可得f（0）為最小值0；
當a＞0時，f（x）=x²|x-a|，由于x²∈[0，4]，
|x-a|≥0，可得f（x）≥0，當x=0或x=a時，取得最小值0．
綜上可得f（x）的最小值g（a）=0．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用去絕對值的方法，以及導數(shù)判斷單調性，求最值，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．