Question

9．已知函數(shù)y=sin2x+sinx+cosx+2（x∈R），求函數(shù)的值域．

Answer 1

分析 換元法，設t=sinx+cosx，由三角函數(shù)知識可得t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，且sin2x=t²-1，可得y=t²+t+1，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：設t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴t²=（sinx+cosx）²=1+sin2x，∴sin2x=t²-1，
∴y=sin2x+sinx+cosx+2=t²-1+t+2=t²+t+1，
由二次函數(shù)可知，當t∈[-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$]時，函數(shù)y=t²+t+1單調(diào)遞減；
當t∈[-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$]時，函數(shù)y=t²+t+1單調(diào)遞增，
∴當t=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取最小值y_min=$\frac{3}{4}$；
當t=$\sqrt{2}$時，函數(shù)取最大值y_max=3+$\sqrt{2}$，
∴原函數(shù)的值域為：[$\frac{3}{4}$，3+$\sqrt{2}$]

點評 本題考查三角函數(shù)的值域，涉及換元法和三角函數(shù)的值域以及二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．