Question

1．閱讀下面的兩個程序：
（1）若當(dāng)輸入一個正整數(shù)n時，這兩個程序輸出的結(jié)果記為a_n，b_n，寫出{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過程序框圖可知，a₁=$\frac{1}{3}$、a_n+1=3a_n，b₁+1=0、b_n+1+1=（b_n+1）+3，進(jìn)而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知c_n=（3n-4）•3^n-2，進(jìn)而利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）由程序框圖可知，數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{3}$為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，
數(shù)列{b_n+1}是以0為首項(xiàng)、3為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=$\frac{1}{3}$•3^n-1=3^n-2，b_n=3（n-1）-1=3n-4；
（2）由（1）可知c_n=a_n•b_n=（3n-4）•3^n-2，
∴T_n=-$\frac{1}{3}$+2+5•3+8•3²+…+（3n-4）•3^n-2，
∴3T_n=-1+2•3+5•3²+…+（3n-7）•3^n-2+（3n-4）•3^n-1，
以上兩式錯位相減得：-2T_n=-$\frac{1}{3}$+3+3²+…+3^n-1-（3n-4）•3^n-1
=-$\frac{1}{3}$+$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（3n-4）•3^n-1
=-$\frac{11}{6}$-（3n-$\frac{11}{2}$）•3^n-1，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{11}{12}$+$\frac{6n-11}{4}$•3^n-1．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解，注意錯位相減法和構(gòu)造成法的靈活運(yùn)用，注意解題方法的積累，屬于中檔題．