Question

10．正面體ABCD的體積為V，P是正四面體ABCD的內(nèi)部的點(diǎn)．
①設(shè)“V_P-ABC≥$\frac{1}{4}$V”的事件為X，則概率P（X）=$\frac{27}{64}$；
②設(shè)“V_P-ABC≥$\frac{1}{4}$V且V_P-BCD≥$\frac{1}{4}$V”的事件為Y，則概率P（Y）=$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 首先確定點(diǎn)P的區(qū)域，即區(qū)域D；然后確定所求的事件中的點(diǎn)所在區(qū)域d；分別計(jì)算區(qū)域D和d的體積；最后計(jì)算所求概率為$\frac{d的測(cè)度}{D的測(cè)度}$．

解答 解：（1）如圖所示，
分別取DA、DB、DC上的點(diǎn)E、F、G，
并使DE=3EA，DF=3FB，DG=3GC，并連結(jié)EF、FG、GE，
則平面EFG∥平面ABC；
當(dāng)P在正四面體DEFG內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，
滿足V_PABC≥$\frac{1}{4}$V，故P（X）=$\frac{{V}_{DEFG}}{{V}_{DABC}}$=${（\frac{DE}{DA}）}^{3}$=${（\frac{3}{4}）}^{3}$=$\frac{27}{64}$；
（2）在AB上取點(diǎn)H，使AH=3HB，在AC上取點(diǎn)I，
使AI=3IC，在AD上取點(diǎn)J，使AJ=3JD，
則P在正四面體AHIJ內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足V_PBCD≥$\frac{1}{4}$V；
設(shè)JH交EF于M，JI交EG于N，則面MIN∥面BCD．
結(jié)合（1），當(dāng)P在正四面體DFEG的內(nèi)部及正四面體AHIJ的內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，
也即P在正四面體EMNJ內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，同時(shí)滿足V_PABC≥$\frac{1}{4}$V且V_PBCD≥$\frac{1}{4}$V，
于是P（Y）=$\frac{{V}_{JEMN}}{{V}_{DABC}}$=${（\frac{JE}{DA}）}^{3}$=${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)P所表示的區(qū)域，是綜合性題目．