Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，則a的取值范圍是（　　）

• A、（2，+∞）
• B、（1，+∞）
• C、（-∞，-2）
• D、（-∞，-1）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：分類討論：當(dāng)a≥0時(shí)，容易判斷出不符合題意；當(dāng)a＜0時(shí)，由于而f（0）=1＞0，x→+∞時(shí)，f（x）→-∞，可知：存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，要使?jié)M足條件f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，則必須極小值f（

2

a

）＞0，解出即可．

解答：解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-3x²+1=0，解得x=±

3

3

，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，應(yīng)舍去；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-

2

a

）=0，解得x=0或x=

2

a

＞0，列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0， 2 a ）	2 a	（ 2 a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∵x→-∞，f（x）→-∞，而f（0）=1＞0，
∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合條件：f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，應(yīng)舍去．
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-

2

a

）=0，解得x=0或x=

2

a

＜0，列表如下：

x	（-∞， 2 a ）	2 a	（ 2 a ，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

而f（0）=1＞0，x→+∞時(shí)，f（x）→-∞，
∴存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，
∵f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，
∴極小值f（

2

a

）＞0，化為a²＞4，
∵a＜0，∴a＜-2．
綜上可知：a的取值范圍是（-∞，-2）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．