Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，其中PA=PD=PA=2，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且，求二面角M-BQ-C的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）證明AD⊥平面PQB，再證明平面PQB⊥平面PAD即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出M的坐標(biāo)，進(jìn)而可求平面MQB、平面CQB的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．
解答：（1）證明：∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴AD⊥PQ
又∵∠BAD=60°，底面ABCD為菱形，Q為AD的中點(diǎn)，∴AD⊥BQ
∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）解：以Q為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA為x軸，直線QB為y軸，直線QP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則；
∵，∴
在平面MQB中，，，
設(shè)平面MQB的法向量為=（x，y，z），則
∴平面MQB的法向量為
而平面CQB的法向量，
設(shè)二面角M-BQ-C的夾角是θ，∴=-，∴θ=60°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．