Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)滿足（，是大于0的常數(shù)，且），數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列，.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，求出所有可能的實(shí)數(shù)的值，若不存在說明理由；

（Ⅲ）數(shù)列是否能為等比數(shù)列？若能，請給出一個符合的條件的和的組合，若不能，請說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)時,

,整理得             

又由，得

結(jié)合q>0知，數(shù)列是首項(xiàng)為q公比為的等比數(shù)列， ∴  分

 (Ⅱ) 結(jié)合（Ⅰ）知，當(dāng)q=2時，,所以                 

假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列，則對任意n≥2有

(c_n＋1＋λc_n)²＝(c_n＋2＋λc_n＋1)(c_n＋λc_n－1)，將c_n＝2ⁿ＋3ⁿ代入上式，得：

[2^n＋1＋3^n＋1＋λ(2ⁿ＋3ⁿ)]²＝[2^n＋2＋3^n＋2＋λ(2^n＋1＋3^n＋1)]·[2ⁿ＋3ⁿ＋λ(2^n－1＋3^n－1)]，

即    [(2＋λ)2ⁿ＋(3＋λ)3ⁿ]²＝[(2＋λ)2^n＋1＋(3＋λ)3^n＋1][(2＋λ)2^n－1＋(3＋λ)3^n－1］，

整理得(2＋λ)(3＋λ)·2ⁿ·3ⁿ＝0，解得λ=－2或λ=－3.   

故存在實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)＝－2或－3，使使數(shù)列是等比數(shù)列.