Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=xⁿ（1-x）（x＞0），n為正整數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）證明：不等式lnt≥1-$\frac{1}{t}$及f（x）＜$\frac{1}{ne}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)的最值；
（Ⅱ）整理不等式得lnt-1+$\frac{1}{t}$≥0，只需求出式子lnt-1+$\frac{1}{t}$的最小值，利用導(dǎo)數(shù)求解即可；觀察式子特點(diǎn)，構(gòu)造式子令t=$\frac{n+1}{n}$  （t＞1），利用上題結(jié)論代入計(jì)算．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=xⁿ-xⁿ⁺¹，
∴f'（x）=nx^n-1-（n+1）xⁿ
=-（n+1）x^n-1（x-$\frac{n}{n+1}$）；
令f'（x）=0，
得x=$\frac{n}{n+1}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{n}{n+1}$），f'（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x∈（$\frac{n}{n+1}$，+∞），f'（x）＜0，f（x）遞減；
函數(shù)f（x）的最大值為f（$\frac{n}{n+1}$）=$\frac{{n}^{n}}{{（n+1）}^{n+1}}$；
（Ⅱ）要證lnt≥1-$\frac{1}{t}$，
即證lnt-1+$\frac{1}{t}$≥0．
令h（t）=lnt-1+$\frac{1}{t}$，
h'（t）=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$，
∴h（t）在（0，1）遞減，（1，+∞）遞增，
h（t）≥h（1）=0，
∴l(xiāng)nt≥1-$\frac{1}{t}$，
f（x）＜$\frac{1}{ne}$的證明：
令t=$\frac{n+1}{n}$  （t＞1）
∴l(xiāng)n$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$
∴（n+1）ln$\frac{n+1}{n}$＞lne
∴$\frac{{（n+1）}^{n+1}}{{n}^{n+1}}$＞e
∴$\frac{{n}^{n}}{{（n+1）}^{n+1}}$＜$\frac{1}{ne}$
由（1）知f（x）＜$\frac{{n}^{n}}{{（n+1）}^{n+1}}$＜$\frac{1}{ne}$

點(diǎn)評(píng) 考查了導(dǎo)函數(shù)求最值的方法和構(gòu)造式子，對(duì)試題進(jìn)行探索式證明．