Question

7．不等式2x²-axy+y²≥0對于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． a≤2$\sqrt{2}$
• B． a≥2$\sqrt{2}$
• C． a≤$\frac{11}{3}$
• D． a≤$\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 不等式等價變化為a≤$\frac{{2x}^{2}{+y}^{2}}{xy}$=$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$，則求出函數(shù)$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$的最小值即可．

解答 解：依題意，不等式2x²-axy+y²≤0等價為a≤$\frac{{2x}^{2}{+y}^{2}}{xy}$=$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$，
設(shè)t=$\frac{y}{x}$，
∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，
∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{x}$≤1，即$\frac{1}{2}$≤$\frac{y}{x}$≤3，
∴$\frac{1}{2}$≤t≤3，
則$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$=t+$\frac{2}{t}$，
∵t+$\frac{2}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{2}{t}}$=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{2}{t}$，即t=$\sqrt{2}$時取等號，
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查不等式的應(yīng)用，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$，a＞0圖象的單調(diào)性以及應(yīng)用．