Question

已知函數(shù)f(x)=ax²+2bx+1(a，b為實數(shù))，x∈R，F(xiàn)(x)=，
(Ⅰ)若f(-1)=0，且函數(shù)f(x)的值域為[0，+∞)，求F(x)的表達式；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，當x∈[-2，2]時，g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
(Ⅲ)設(shè)m·n＜0，m+n＞0，a＞0且f(x)為偶函數(shù)，判斷F(m)+F(n)能否大于零？

Answer 1

解：(Ⅰ)∵f(-1)=0，
∴a-2b+1=0，
又x∈R，f(x)≥0恒成立，
∴，
∴b²-(2b-1)≤0，b=1，a=1，
∴f(x)=x²+2x+1=(x+1)²，
∴。
(Ⅱ)g(x)=f(x)-kx=x²+2x+1-kx=x²+(2-k)x+1，
當或，即k≥6或k≤-2時，g(x)是單調(diào)函數(shù)．
(Ⅲ)∵f(x)是偶函數(shù)，
∴f(x)=ax²+1，，
∵m·n＜0，設(shè)m＞n，則n＜0，
又m+n＞0，m＞-n＞0，
∴|m|＞|-n|，
F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=(am²+1)-an²-1=a(m²-n²)＞0，
∴F(m)+F(n)能大于零．