Question

若對于區(qū)間[m，n]上有意義的兩個函數(shù)f(x)與g(x)，如果對任意的x∈[m，n]，均有|f(x)－g(x)|≤1，則稱f(x)與g(x)在[m，n]上是接近的，否則稱f(x)與g(x)在[m，n]上是非接近的．現(xiàn)有兩個函數(shù)f₁(x)＝log_a(x－3a)與f₂(x)＝log_a(a＞0，a≠1)，給定區(qū)間[a＋2，a＋3]．

(1)若f₁(x)與f₂(x)在給定區(qū)間[a＋2，a＋3]上都有意義，求a的取值范圍；

(2)討論f₁(x)與f₂(x)在給定區(qū)間[a＋2，a＋3]上是否是接近的．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依題意a＞0，a≠1，a＋2－3a＞0，a＋2－a＞0，∴0＜a＜1． 　　(2)|f1(x)－f2(x)|＝|loga(x2－4ax＋3a2)|． 　　令|f1(x)－f2(x)|≤1，得－1≤loga(x2－4ax＋3a2)≤1， 　　∵0＜a＜1，又[a＋2，a＋3]在x＝2a的右側(cè)， 　　∴g(x)＝loga(x2－4ax＋3a2)在[a＋2，a＋3]上為減函數(shù)．① 　　從而g(x)max＝g(a＋2)＝loga(4－4a)，g(x)min＝g(a＋3)＝loga(9－6a)， 　　于是①成立，當(dāng)且僅當(dāng)解此不等式組，得0＜a≤． 　　故當(dāng)0＜a≤時，f1(x)與f2(x)在[a＋2，a＋3]上是接近的； 　　當(dāng)a＞且a≠1時，f1(x)與f2(x)在[a＋2，a＋3]上是非接近的．

提示：

解這類題目先一定要嚴(yán)格把握好題目中給出的新信息，本題中的“若對于區(qū)間[m，n]上有意義的兩個函數(shù)f(x)與g(x)，如果對任意的x∈[m，n]，均有|f(x)－g(x)|≤1，則稱f(x)與g(x)在[m，n]上是接近的，否則稱f(x)與g(x)在[m，n]上是非接近的”這是定義，然后綜合以前所學(xué)的知識靈活解題．