Question

14．已知y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，那么$\frac{y}{x+1}$的取值范圍是$[0，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．

Answer 1

分析 由2x-x²≥0，解得0≤x≤2．y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$的定義域為[0，2]．兩邊平方可得：（x-1）²+y²=1．畫出圖象：則$\frac{y}{x+1}$表示半圓上的點（x，y）與（-1，0）連線的斜率．再利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出．

解答 解：由2x-x²≥0，解得0≤x≤2．
∴y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$的定義域為[0，2]．
兩邊平方可得：（x-1）²+y²=1．
畫出圖象：
則$\frac{y}{x+1}$表示半圓上的點（x，y）與（-1，0）連線的斜率．
當經(jīng)過點（-1，0）的直線y=k（x+1）（k＞0）與圓相切時，可得$\frac{|k-0+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
那么$\frac{y}{x+1}$的取值范圍是$[0，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．
故答案為：$[0，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．

點評 本題考查了直線與圓相切性質(zhì)、點到直線的距離公式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．