Question

已知a，b∈R，函數(shù)f（x）=tanx在x=-

π

4

處與直線y=ax+b+

π

2

相切，設(shè)g（x）=e^x+bx²+a，若在區(qū)間[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m²-2恒成立，則實(shí)數(shù)m（　　）

• A、有最小值-e
• B、有最小值e
• C、有最大值e
• D、有最大值e+1

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，得a=2，將切點(diǎn)（-

π

4

，-1）代入切線方程，求得b=-1，再求g（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷g（x）在[1，2]上的單調(diào)性，求出最值，再由不等式m≤g（x）≤m²-2恒成立，即有

m≤g(1)=e+1 m2-2≥g(2)=e2-2 m≤m2-2

，解出m的取值范圍，即可判斷．

解答： 解：f（x）=tanx的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（

sinx

cosx

）′=

sin2x+cos2x

cos2x

=

1

cos2x

，
則a=f′（-

π

4

）=

1

cos2(- π 4 )

=2，將切點(diǎn)（-

π

4

，-1）代入切線方程，即
-1=-

π

4

×2+b+

π

2

，即有b=-1．
則g（x）=e^x-x²+2，令h（x）=g′（x）=e^x-2x，
h′（x）=e^x-2，在[1，2]上h′（x）＞0恒成立，即h（x）在[1，2]上遞增，
即g′（x）在[1，2]上遞增，則有g(shù)′（x）≥g′（1）=e-2＞0，
則g（x）在[1，2]上遞增，g（1）最小，g（2）最大，
不等式m≤g（x）≤m²-2恒成立，即有

m≤g(1)=e+1 m2-2≥g(2)=e2-2 m≤m2-2

，
解得m≤-e或e≤m≤e+1．即m的最大值為e+1．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和判斷單調(diào)性，考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，考查不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題．