Question

已知橢圓C：=1（a＞）的右焦點(diǎn)F在圓D：（x-2）²+y²=1上，直線l：x=my+3（m≠0）交橢圓于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為N₁，且直線N₁M與x軸交于點(diǎn)P，試問△PMN的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由圓D：（x-2）²+y²=1，令y=0，解得圓D與x軸交與兩點(diǎn)（3，0），（1，0）．在橢圓中c=3或c=1，又b²=3，得到a²=12或a²=4（舍去，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124608475689765/SYS201310251246084756897020_DA/0.png">）．即可得到橢圓的方程．
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則N₁（x₂，-y₂）．直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，對于直線N₁M的方程，令y=0，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
解法一：利用三角形的面積計(jì)算公式，把根與系數(shù)的關(guān)系代入，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出m的取值與三角形PMN的最大值．．
解法二：利用弦長公式=，及點(diǎn)P到直線l的距離公式求出點(diǎn)P到直線MN的距離d，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知，圓D：（x-2）²+y²=1，令y=0，
解得圓D與x軸交與兩點(diǎn)（3，0），（1，0）．
所以，在橢圓中c=3或c=1，又b²=3，
所以，a²=12或a²=4（舍去，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124608475689765/SYS201310251246084756897020_DA/4.png">）．
于是，橢圓C的方程為．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則N₁（x₂，-y₂）．
聯(lián)立方程（m²+4）y²+6my-3=0，
所以，．
因?yàn)橹本�N₁M的方程為，令y=0，
則===，
所以得點(diǎn)P（4，0）．
解法一：
==．

當(dāng)且僅當(dāng)m²+1=3即時(shí)等號(hào)成立．
故△PMN的面積存在最大值1．
（或：．
令，
則．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)m²=2．
故△PMN的面積存在最大值為1．
解法二：=．
點(diǎn)P到直線l的距離是．
所以，=．
令，
則．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)m²=2．
故△PMN的面積存在最大值為1．
點(diǎn)評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力、計(jì)算能力．