Question

10．設(shè)四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為$2\sqrt{2}$的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為$2\sqrt{5}$，若該棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（　�。�

• A． 25π
• B． 32π
• C． 36π
• D． 50π

Answer 1

分析 設(shè)AC、BD的交點(diǎn)為F，連接PF，則PF是四棱錐P-ABCD的高且四棱錐P-ABCD的外接球球心O在PF上．由正四棱錐的性質(zhì)，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出AF=2且PF=4，Rt△AOF中根據(jù)勾股定理，得R²=2²+（4-R）²，解之得R=2.5，利用球的表面積公式即可算出經(jīng)過(guò)該棱錐五個(gè)頂點(diǎn)的球面面積．

解答 解：設(shè)AC、BD的交點(diǎn)為F，連接PF，則PF是四棱錐P-ABCD的高，
根據(jù)球的對(duì)稱性可得四棱錐P-ABCD的外接球球心O在直線PF上，
∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2
Rt△PAF中，PF=4
連接OA，設(shè)OA=0P=R，則
Rt△AOF中AO²=AF²+OF²，即R²=2²+（4-R）²
解之得R=2.5
∴四棱錐P-ABCD的外接球表面積為S=4πR²=4π×2.5²=25π
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題給出正四棱錐，求它的外接球的表面積，著重考查了正四棱錐的性質(zhì)、勾股定理和球的表面積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．