Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1a_n-2a_n+1+1=0，n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{{a_n}-1}}$}是等差數(shù)列；
（2）求證：$\frac{n^2}{n+1}$＜$\frac{a_1}{a_2}$+$\frac{a_2}{a_3}$+$\frac{a_3}{a_4}$+…+$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}$＜n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列遞推式求得${a}_{n+1}=\frac{1}{2-{a}_{n}}$，然后利用作差法證明數(shù)列{$\frac{1}{{{a_n}-1}}$}是等差數(shù)列；
（2）由（1）中的等差數(shù)列求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，整理后利用放縮法證明不等式右邊，利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式左邊．

解答 證明：（1）由a_n+1a_n-2a_n+1+1=0，得${a}_{n+1}=\frac{1}{2-{a}_{n}}$，
則$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}=\frac{1}{\frac{1}{2-{a}_{n}}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1-{a}_{n}}{{a}_{n}-1}=-1$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{{a_n}-1}}$}是以-1為公差的等差數(shù)列；
（2）由數(shù)列{$\frac{1}{{{a_n}-1}}$}是以-1為公差的等差數(shù)列，且$\frac{1}{{a}_{1}-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}-1}=-2$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}=-2-（n-1）=-（n+1）$，則${a}_{n}=\frac{n}{n+1}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{（n+1）^{2}-1}{（n+1）^{2}}=1-\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜1，
則$\frac{a_1}{a_2}$+$\frac{a_2}{a_3}$+$\frac{a_3}{a_4}$+…+$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}$＜1=1+…+1=n；
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明$\frac{n^2}{n+1}$＜$\frac{a_1}{a_2}$+$\frac{a_2}{a_3}$+$\frac{a_3}{a_4}$+…+$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}$．
∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{\frac{n}{n+1}}{\frac{n+1}{n+2}}=\frac{n（n+2）}{（n+1）^{2}}$，
當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{3}{4}＞\frac{1}{2}=\frac{{1}^{2}}{1+1}$，
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即$\frac{{k}^{2}}{k+1}＜\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}+…+\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，
$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}+…+\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}+\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k+2}}$$＞\frac{{k}^{2}}{k+1}+\frac{（k+1）（k+3）}{（k+2）^{2}}$，
要證$\frac{{k}^{2}}{k+1}+\frac{（k+1）（k+3）}{（k+2）^{2}}＞\frac{（k+1）^{2}}{k+2}$，
只要證k²（k+2）²+（k+1）²（k+3）＞（k+1）³（k+2），
也就是證：k⁴+4k³+4k²+k³+3k²+2k²+6k+k+3＞k⁴+2k³+3k³+6k²+3k²+6k+2+k，
即證：3＞2．
此式顯然成立．
∴$\frac{（k+1）^{2}}{k+2}＜\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}+…+\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k+2}}$．
綜上，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式$\frac{n^2}{n+1}$＜$\frac{a_1}{a_2}$+$\frac{a_2}{a_3}$+$\frac{a_3}{a_4}$+…+$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}$成立．
∴$\frac{n^2}{n+1}$＜$\frac{a_1}{a_2}$+$\frac{a_2}{a_3}$+$\frac{a_3}{a_4}$+…+$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}$＜n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了放縮法及數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，屬中高檔題．