Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，1]，
（1）若f（0）=-1，求t的值和f（x）的零點(diǎn)；
（2）記h（t），g（t）分別是f（x）的最大值、最小值，求函數(shù)F（t）=h（t）-g（t）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)cos=0得出α=，然后代入函數(shù)中，再由特殊角的三角函數(shù)值求出結(jié)果，然后化簡得出f[cos（α+）]=2cos²（a+）+cos（a+）-1，再 令x=cos（a+）得出f（x）=2x²+x-1，即可求出零點(diǎn)．
（2）討論開口方向和對稱軸與區(qū)間[-1，1]的位置關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，從而求出函數(shù)F（t）的解析式．
解答：解：（1）令α=
∴f（cos）=tcosπ+sin（）+cos（）=-t=-1
∴t=1
∴f[cos（α+）]=cos（2a+）+sin（α+）+cos（a+）
=cos2（a+）+sin[（a+）+]+cos[（a+）+]
=2cos²（a+）+cos（a+）-1
  令x=cos（a+）
∴f（x）=2x²+x-1
∵-1≤x≤1
∴x₁=-1 x₂=
（2）f[cos（α+）]=tcos（2a+）+sin（α+）+cos（a+）
=tcos2（a+）+sin[（a+）+]+cos[（a+）+]
=2tcos²（a+）+cos（a+）-t 
  令x=cos（a+）
∴f（x）=2tx²+x-t    x∈[-1，1]，
當(dāng)t＞0時，函數(shù)f（x）開口向上
-≤-1時即0＜t≤，函數(shù)在[-1，1]上為增函數(shù)，最大值為h（t）=t+1，最小值為g（t）=t-1
-1＜-＜1時即t＞，函數(shù)在[-1，-]上為減函數(shù)，在[-，1]上為增函數(shù)，最大值為h（t）=t+1，最小值為g（t）=
當(dāng)t=0時，函數(shù)在[-1，1]上為增函數(shù)，最大值為h（t）=1，最小值為g（t）=-1
當(dāng)t＜0時，函數(shù)f（x）開口向下
-1＜-＜1時即t＜-，函數(shù)在[-1，-]上為增函數(shù)，在[-，1]上為減函數(shù)，最大值為h（t）=，最小值為g（t）=t-1
-≥1時即0＞t≥-，函數(shù)在[-1，1]上為減函數(shù)，最大值為h（t）=t-1，最小值為g（t）=t+1
∴F（t）=h（t）-g（t）=
點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的化簡求值以及函數(shù)零點(diǎn)的求法，求函數(shù)的零點(diǎn)時要注意x的范圍，以及函數(shù)最值的應(yīng)用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．