Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+x² （a為實常數(shù)），e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）若存在x∈[1，e]，使得不等式f（x）≤（a+2）x成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）f′(x)=

2x2+a

x

(x＞0)，當(dāng)[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]．
①若a≥-2，f′（x）在[1，e]上非負(fù)（僅當(dāng)a=-2，x=1時，f′（x）=0，故函數(shù)f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，此時[f（x）]_min=f（1）=1．
②若-2e²＜a＜-2，當(dāng)x=

-a 2

時，f′（x）=0；當(dāng)1≤x＜

-a 2

時，f′（x）＜0，此時f（x）
是減函數(shù)；當(dāng)

-a 2

＜x≤e時，f′（x）＞0，此時f（x）是增函數(shù)．故[f(x)]min=f(

-a 2

)=

a

2

ln(-

a

2

)-

a

2

．
③若a≤-2e²，f′（x）在[1，e]上非正（僅當(dāng)a=-2e²，x=e時，f′（x）=0，故函數(shù)f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，此時[f（x）]_min=f（e）=a+e²．
綜上可知，[f(x)]min=

1(a≥-2) a 2 ln(- a 2 )- a 2 (-2e2＜a＜-2) a+e2(a≤-2e2)

（2）不等式f（x）≤（a+2）x，可化為a（x-lnx）≥x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx≤1≤x且等號不能同時取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而a≥

x2-2x

x-lnx

(x∈[1，e])
令g(x)=

x2-2x

x-lnx

(x∈[1，e])，又g′(x)=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，
當(dāng)x∈[1，e]時，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
從而g′（x）≥0（僅當(dāng)x=1時取等號），所g（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
故g（x）的最大值為g（e）=

e2-2e

e-1

，所以a的取值范圍是[

e2-2e

e-1

，+∞）．