Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1·n+2（n－1）+3（n－2）+…+（n－1）·2+n·1=n（n+1）（n+2）.

Answer 1

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=（1+1）（1+2）=1，等式成立.

（2）假設(shè)n=k時(shí)，1·k+2（k－1）+3（k－2）+…+（k－1）·2+k·1=k（k+1）（k+2）成立.

當(dāng)n=k+1時(shí)，

1·（k+1）+2k+3（k－1）+…+k·2+（k+1）·1

=（1·k+1）+［2（k－1）+2］+［3（k－2）+3］+…+（k·1+k）+（k+1）

=［1·k+2（k－1）+3（k－2）+…+k·1］+［1+2+3+…+（k+1）］

=k（k+1）（k+2）+（k+1）（k+2）

=（k+1）［（k+1）+1］［（k+1）+2］.

∴對(duì)n=k+1時(shí)，等式成立.

由（1）（2）可知對(duì)一切自然數(shù)n∈N^*，等式成立.