Question

已知f（x）=ax²+3（a+1）x+3a+4（a∈Z且a＜0）的圖象過點（m-2，0）（m∈R），設(shè)g（x）=f［f（x）］，F（x）=pg（x）+f（x），求常數(shù)p，使得F（x）在（-∞，-3）上是減函數(shù)，在［-3，0］上是增函數(shù).

Answer 1

解：∵f（m-2）=0,

∴a（m-2）²+3（a+1）（m-2）+3a+4=0.?

∵m∈R,

∴m-2∈R,

∴Δ=9（a+1）²-4a（3a+4）≥0,?

即3a²-2a-9≤0.?

解得≤a≤.

又a∈Z且a＜0,∴a=-1.?

∴f（x）=1-x²,

g（x）=f［f（x）］=1-［f（x）］²=1-（x²-1）².?

令y=F（x）,則

y=p［1-（x²-1）²］+（1+x²）=-px⁴+（2p-1）x²+1.?

∴y′=-4px³+2（2p-1）x,?

依題意y′｜_x=-3=0.

即-4p×（-27）-6（2p-1）=0,?

∴p=-.

此時,y=F（x）=x⁴-x²+1.

y′=x（x²-9）.?

當(dāng)x∈（-∞,-3） 時,y′＜0.?

當(dāng)x∈（-3,0）時,y′＞0.?

∴當(dāng)p=-時,函數(shù)y=F（x）在（-∞,-3）內(nèi)遞減,在（-3,0）內(nèi)遞增.