Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩焦點分別為F₁和F₂，若雙曲線上存在不是頂點的點P，使得∠PF₂F₁=3∠PF₁F₂，則雙曲線離心率e的取值范圍是

1＜e＜2

．

Answer 1

分析：設(shè)∠PF₁F₂=α，在三角形PF₁F₂中，根據(jù)正弦定理，可得

PF1

sin3α

=

PF2

sinα

，利用三倍角公式化簡得PF₁=（3-4sin²α）PF₂，再利用雙曲線的定義，可得PF₂=

a

1-2sin2α

，最后根據(jù)P在雙曲線右友，可得關(guān)于e的不等式，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的范圍確定e的范圍．

解答：解：設(shè)∠PF₁F₂=α，
∵∠PF₂F₁=3∠PF₁F₂，P在雙曲線右支（x＞a）
在三角形PF₁F₂中，根據(jù)正弦定理，可得

PF1

sin3α

=

PF2

sinα

，
即

PF1

3sinα-4sin3α

=

PF2

sinα

∴PF₁=（3-4sin²α）PF₂，
∵PF₁-PF₂=2a，∴（3-4sin²α）PF₂-PF₂=2a，
∴PF₂=

a

1-2sin2α

，
由于P在P在雙曲線右支，∴PF₂＞c-a，
∵

a

1-2sin2α

＞c-a，∴

c

a

＜1+

1

1-2sin2α

≤2，
∴

c

a

＜2，又

c

a

＞1，
則雙曲線離心率e的取值范圍是 1＜e＜2．
故答案為：1＜e＜2．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，考查了雙曲線的第二定義的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．