Question

選做題
A．選修4-2矩陣與變換
已知矩陣A=

.

1 2 -1 4

.

，向量

a

=

.

7 4

.

．
（Ⅰ）求A的特征值λ₁、λ₂和特征向量α₁、α₂；   （Ⅱ）計算A⁶α的值．
B．選修4-4坐標系與參數(shù)方程
已知直線l的參數(shù)方程為

x=4-2t y=t-2

（t為參數(shù)），P是橢圓

x2

4

+y2=1上任意一點，求點P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

A（Ⅰ）矩陣A的特征多項式為：f（λ）=

.

λ-1 -2 1 λ-4

.

=λ²-5λ+6=0
得：λ₁=2，λ₂=3，當λ₁=2時，解得α₁=（2，1）
當λ₂=3時，解得α₂=（1，1）．
（Ⅱ）由α=mα₁+nα₂
得

2m+n=7 m+n=4

解得：

m=3 n=1

由（2）得：A⁵α=A⁵（3α₁+α₂）=3（A⁵α₁）+A⁵α₂=3（λ₁⁵α₁）+λ₂⁵α₂=3×2⁵×（2，1）+3⁵×（1，1）=（435，339）
B．坐標系與參數(shù)方程
直線l的參數(shù)方程為

x=4-2t y=t-2

（t為參數(shù)）故直線l的普通方程為x+2y=0
因為p為橢圓

x2

4

+y2=1上任意點，故可設(shè)P（2cosθ，sinθ）其中θ∈R．
因此點P到直線l的距離是d=

|2cosθ+2sinθ|

12+22

=

2 2 |sin(θ+ π 4 )|

5

所以當θ=kπ+

π

4

，k∈z時，d取得最大值

2 5

5

．