Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，ΔABC為等腰直角三角形，∠BAC=，且AB=AA₁,D、E、F分別為B₁A、C₁C、BC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：DE∥平面ABC；

(Ⅱ)求證：B₁F⊥平面AEF；

(Ⅲ)求二面角B₁-AE-F的大�。�

Answer 1

解法一：(Ⅰ)證明：取AB的中點(diǎn)M，

∵D為B₁A中點(diǎn)，∴DMBB₁.

又由E是CC₁的中點(diǎn)，易得ECBB₁,

∴DMEC.

∴四邊形DMCE是平行四邊形，

∴DE∥MC.

又DE平面ABC，MC平面ABC，

∴DE∥平面ABC.

(Ⅱ)證明:由已知,△ABC為等腰直角三角形,

∠BAC=90°，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，

∴AF⊥BC.有AF⊥平面BB₁C₁C.

又B₁F平面BB₁C₁C，∴B₁F⊥AF.

在Rt△B₁BF和Rt△FCE中，由已知可得BC=BB₁，CC₁=BB₁，

∴.

∴Rt△B₁BF∽R(shí)t△FCE，

∴∠BB₁F=∠EFC，而∠BB₁F+∠B₁FB=90°，

∴∠B₁FB+∠EFC=90°，

∴∠B₁FE=90°，即B₁F⊥EF.

又AF∩EF=F，∴B₁F⊥平面AEF.

(Ⅲ)解：過(guò)F作FN⊥AE于點(diǎn)N，連結(jié)B₁N，設(shè)AB=a，

∵B₁F⊥平面AEF，∴B₁N⊥AE.

∴∠B₁NF為二面角B₁-AE-F的平面角.

∵AF⊥平面BB₁C₁C，EF平面BB₁C₁C，

∴EF⊥AF.

在Rt△AEF中，可求得FN=.

在Rt△B₁FN中，∠B₁FN=90°,

∴tan∠B₁NF=.

∴∠B₁NF=arctan，即二面角B₁-AE-F的大小為arctan. 

解法二：以A為原點(diǎn)，以射線AB、AC、AA₁分別為x、y、z的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=AA₁=AC=2a＞0，可知各點(diǎn)坐標(biāo)分別為

A(0，0，0)，B(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B₁(2a，0，2a)，E(0，2a，a)，F(xiàn)(a，a，0)，D(a，0，a)

(Ⅰ)=(-a，2a，0)，

又因?yàn)?-a，2a，0)=a(-1，2，0)，

即=a(-1，2，0).

∴與向量(-1，2，0)平行，設(shè)點(diǎn)G(-1，2，0)，

則=(-1，2，0)

∴與平行，而直線AG在平面ABC內(nèi)，直線DE在平面ABC外，∴DE∥平面ABC.

(Ⅱ)證明：=(-a，a，-2a)， =(a，-a，-a)，=(a，a，0)，

∴·=-a×a+a×(-a)+(-2a)×(-a)=0，

·=-a×a+a×a-2a×0=0，

∴⊥，⊥

又AF∩EF=F，∴B₁F⊥平面AEF.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，=(-a，a，-2a)是平面AEF的一個(gè)法向量，設(shè)二面角B₁-AE-F的大小為θ，根據(jù)已知得θ是銳角，設(shè)平面AEB₁的一個(gè)法向量為n=(x，y，1)，∵=(0，2a，a)，  =(2a，0，2a)，且

∴解得，∴n=(-1,,1)

∴cosθ=

∴θ=arcos=,

∴二面角B₁-AE-F的大小為arcos.