Question

7．已知函數(shù)f（x）=ln（ex）-kx．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若?x∈（0，+∞），都有f（x）≤0，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）證明：$\frac{ln2}{3}+\frac{ln3}{4}+…+\frac{lnn}{n+1}＜\frac{n（n-1）}{4}$（n∈N^*，且n≥2）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{e}{x}$-k．能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）由（1）知k≤0時，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值為f（$\frac{1}{k}$），由此能確定實數(shù)k的取值范圍．
（Ⅲ）由（2）知，當k=1時，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，f（1）=0，即lnx＜x-1在x∈[2，+∞）上恒成立，由此能夠證明 $\frac{ln2}{3}+\frac{ln3}{4}+…+\frac{lnn}{n+1}＜\frac{n（n-1）}{4}$（（n∈N^*且n＞1）．

解答 解：（Ⅰ）易知f（x）的定義域為（0，+∞），
又f′（x）=$\frac{1}{x}$-k=$\frac{1-kx}{x}$，
k＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{1}{k}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{k}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{k}$）遞增，在（$\frac{1}{k}$，+∞）遞減；
k≤0時，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
（Ⅱ）當k≤0時，f（1）=1-k＞0，不成立，
故只考慮k＞0的情況
又f′（x）=$\frac{1}{x}$-k
當k＞0時，當0＜x＜$\frac{1}{k}$時，f′（x）＞0；
當x＞$\frac{1}{k}$時，f′（x）＜0
在（0，$\frac{1}{k}$）上是增函數(shù)，在（$\frac{1}{k}$，+∞）時減函數(shù)，
此時f（x）max=f（$\frac{1}{k}$）=-lnk
要使f（x）≤0恒成立，只要-lnk≤0 即可
解得：k≥1．
（Ⅲ）當k=1時，
有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
且f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，f（1）=0，
即lnx＜x-1在x∈（1，+∞）上恒成立，
令x=n²，則lnn²＜n²-1，
即2lnn＜（n-1）（n+1），
∴$\frac{lnn}{n+1}$＜$\frac{n-1}{2}$（n∈N^*且n＞1）
∴$\frac{ln2}{3}$+$\frac{ln3}{4}$+$\frac{ln4}{5}$+…+$\frac{lnn}{n+1}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{2}$+…+$\frac{n-1}{2}$=$\frac{n（n-1）}{4}$，
即：$\frac{ln2}{3}+\frac{ln3}{4}+…+\frac{lnn}{n+1}＜\frac{n（n-1）}{4}$（n∈N^*且n＞1）成立．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，確定實數(shù)的取值范圍，不等式的證明．考查化歸與轉化、分類與整合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．