Question

11．橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，焦點到短軸端點的距離為2，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C交于A，B兩點且OA⊥OB，是否存在以原點O為圓心的定圓與直線l相切？若存在求出定圓方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a=2，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線AB：y=kx+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量垂直、點到直線的距離公式，能求出定圓方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，
∵橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，焦點到短軸端點的距離為2，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由題意$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a=2，解得c=$\sqrt{3}$，b=1．
∴所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若k存在，則設(shè)直線AB：y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，…（6分）
∴△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0，且$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，…（7分）
由OA⊥OB，知x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$=0，代入得5m²=4k²+4，…（9分）
原點到直線AB的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，…（10分）
當AB的斜率不存在時，|x₁|=|y₁|，得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{x}_{1}}^{2}$=1，|x₁|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}=d$，依然成立
∴點O到直線AB的距離為定值$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．…（11分）
∴定圓方程為x²+y²=$\frac{4}{5}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查定圓方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、向量垂直、點到直線的距離公式的合理運用．