Question

12．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓上的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F₁且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若△ABF₂是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 直接利用橢圓的通經(jīng)與焦距的關(guān)系，求解即可．

解答 解：F₁，F(xiàn)₂是橢圓上的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F₁且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若△ABF₂是正三角形，
可得$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2^{2}}{a}=2c$，即$\sqrt{3}^{2}=2ac$，
$\sqrt{3}{（a}^{2}-{c}^{2}）=2ac$，
即：$\sqrt{3}（1-{e}^{2}）=2e$，
解得e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．