Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且經(jīng)過點M（4，1），直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B．
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）若直線l不過點M，求證：直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形．

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓的方程為，
∵橢圓的離心率為，
∴a²=4b²，
又∵M(jìn)（4，1），
∴，
解得b²=5，a²=20，
故橢圓方程為
（2）將y=x+m代入
并整理得5x²+8mx+4m²﹣20=0，
∵直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B
∴△=（8m）²﹣20（4m²﹣20）＞0，
解得﹣5＜m＜5
（3）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k₁和k₂，只要證明k₁+k₂=0．
設(shè)A（，），B（x₂，y₂），
根據(jù)（2）中的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得：．

上式的分子=（+m﹣1）（x₂﹣4）+（x₂+m﹣1）（﹣4）
=2x₂+（m﹣5）（+x₂）﹣8（m﹣1）
=
所以k₁+k₂=0，得直線MA，MB的傾斜角互補(bǔ)
∴直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形